设方程 $x^2-px+q=0$ 的两根为 $x_1,x_2$，方程 $x^2-qx+p=0$ 的两根为 $x_3,x_4$，则$$\begin{cases} x_1+x_2=x_3x_4=p,\\ x_1x_2=x_3+x_4=q.\end{cases}$$接下来证明 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 中必然有至少一个为 $1$．否则 $x_1,x_2,x_3,x_4\geqslant 2$，此时有$$(x_1-1)(x_2-1)\geqslant 1,(x_3-1)(x_4-1)\geqslant 1,$$即 $q\geqslant p$ 且 $p\geqslant q$，于是 $p=q$，矛盾．
不妨设 $x_1=1$，则$$1+x_3+x_4=x_3x_4,$$从而$$x_3=1+\dfrac{2}{x_4-1},$$于是$$(x_2,x_3,x_4)=(5,3,2),(5,2,3),$$对应的 $|p-q|=1$．