题目 圆 $O$ 的半径为 $1$，$P$ 为圆周上一点，现将如图放置的边长为 $1$ 的正方形 $ABCD$ 沿圆周逆时针滚动．假设将正方形的顶点 $A$ 的初始位置记为 $P$，当点 $A$ 第一次回到 $P$ 的位置时走过的路径的长度为<nn> </nn>．<br><img src="\static/images/2ad02bcfd286cc63fc18e4c64b5447fb.png" class="img-responsive" /> 答案 $\dfrac{\left(2+\sqrt 2\right)\pi}2. $ 解析 每次转动的角均为 $\dfrac{\pi}6$，而半径分别为 $1,\sqrt 2,1,0,\cdots $，因此所求的路径总长为$$3\cdot\dfrac{\pi}6\cdot\left(1+\sqrt 2+1\right)=\dfrac{\left(2+\sqrt 2\right)\pi}2.$$ 备注