已知 $\overrightarrow m,\overrightarrow n$ 是两个非零向量，且 $|\overrightarrow m|=2$，$|\overrightarrow m+2\overrightarrow n|=2$，则 $|2\overrightarrow m+\overrightarrow n|+|\overrightarrow n|$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{8\sqrt 3}3$
【解析】
设 $\overrightarrow m =(2,0)$，$\overrightarrow m+2\overrightarrow n= (2\cos x,2\sin x)$，则 $\overrightarrow n=(\cos x-1,\sin x)$，从而\[\begin{split}|2\overrightarrow m+\overrightarrow n|+|\overrightarrow n|&=\sqrt{(\cos x+3)^2+\sin ^2x}+\sqrt{(\cos x-1)^2+\sin ^2x}\\
&=\sqrt{10+6\cos x}+\sqrt{2-2\cos x}\\
&=\sqrt 3\cdot \sqrt{\dfrac{10}3+2\cos x}+1\cdot \sqrt{2-2\cos x}\\
&\leqslant \sqrt{3+1}\cdot \sqrt{\dfrac{10}3+2}\\
&=\dfrac{8}{\sqrt 3}.\end{split}\]当 $\dfrac {10}3+2\cos x=3(2-2\cos x)$，即 $\cos x=\dfrac 13$ 时取到等号．
&=\sqrt{10+6\cos x}+\sqrt{2-2\cos x}\\
&=\sqrt 3\cdot \sqrt{\dfrac{10}3+2\cos x}+1\cdot \sqrt{2-2\cos x}\\
&\leqslant \sqrt{3+1}\cdot \sqrt{\dfrac{10}3+2}\\
&=\dfrac{8}{\sqrt 3}.\end{split}\]当 $\dfrac {10}3+2\cos x=3(2-2\cos x)$，即 $\cos x=\dfrac 13$ 时取到等号．
题目
答案
解析
备注
