如图，在平面直角坐标系中，经过点 $A$ 的双曲线 $y=\dfrac kx$（$x>0$）同时经过点 $B$，且点 $A$ 在点 $B$ 的左侧，点 $A$ 的横坐标为 $\sqrt{2}$，$\angle AOB=\angle OBA=45^\circ$，则 $k$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1+\sqrt{5}$
【解析】
过 $A$ 作 $AM\perp y$ 轴于 $M$，过 $B$ 作 $BD$ 交 $x$ 轴于 $D$，直线 $BD$ 与 $AM$ 交于点 $N$，
则 $OD=MN,DN=OM,\angle AMO=\angle BNA=90^\circ$，
所以 $\angle AOM+\angle OAM=90^\circ$，
因为 $\angle AOB=\angle OBA=45^\circ$，
所以 $OA=BA,\angle OAB=45^\circ$，
所以 $\angle OAM+\angle BAN=90^\circ$，
所以 $\angle AOM=\angle BAN$，
所以 $\triangle AOM\cong \triangle BAN$，
所以 $AM=BN=\sqrt{2},OM=AN=\dfrac{k}{\sqrt{2}}$，
所以 $OD=\dfrac{k}{\sqrt{2}}+\sqrt{2},OD=BO=\dfrac{k}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}$，
所以 $B(\dfrac{k}{\sqrt{2}}+\sqrt{2},\dfrac{k}{\sqrt{2}}-\sqrt{2})$，
因为双曲线 $y=\dfrac kx$（$x>0$）经过点 $A,B$，
所以 $(\dfrac{k}{\sqrt{2}}+\sqrt{2})\cdot(\dfrac{k}{\sqrt{2}}-\sqrt{2})=k$，
整理得 $k^2-2k-4=0$，
解得 $k=1\pm \sqrt 5$，
所以 $k=1+\sqrt 5 $．
则 $OD=MN,DN=OM,\angle AMO=\angle BNA=90^\circ$，所以 $\angle AOM+\angle OAM=90^\circ$，
因为 $\angle AOB=\angle OBA=45^\circ$，
所以 $OA=BA,\angle OAB=45^\circ$，
所以 $\angle OAM+\angle BAN=90^\circ$，
所以 $\angle AOM=\angle BAN$，
所以 $\triangle AOM\cong \triangle BAN$，
所以 $AM=BN=\sqrt{2},OM=AN=\dfrac{k}{\sqrt{2}}$，
所以 $OD=\dfrac{k}{\sqrt{2}}+\sqrt{2},OD=BO=\dfrac{k}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}$，
所以 $B(\dfrac{k}{\sqrt{2}}+\sqrt{2},\dfrac{k}{\sqrt{2}}-\sqrt{2})$，
因为双曲线 $y=\dfrac kx$（$x>0$）经过点 $A,B$，
所以 $(\dfrac{k}{\sqrt{2}}+\sqrt{2})\cdot(\dfrac{k}{\sqrt{2}}-\sqrt{2})=k$，
整理得 $k^2-2k-4=0$，
解得 $k=1\pm \sqrt 5$，
所以 $k=1+\sqrt 5 $．
题目
答案
解析
备注
