已知 $F$ 是双曲线 $C:x^2-\dfrac{y^2}8=1$ 的右焦点，$P$ 是 $C$ 的左支上一点，$A(0,6\sqrt 6)$．当 $\triangle APF$ 周长最小时，该三角形的面积为 ．
【难度】
【出处】
2015年高考全国Ⅰ卷（文）
【标注】
【答案】
$12\sqrt 6$
【解析】
三角形 $APF$ 中 $AF$ 的边长固定，因此只需要考虑 $PA+PF$ 的最小值．记 $F'$ 为双曲线的左焦点，注意到双曲线左支上的点 $P$ 满足$$PF-PF'=2a,$$其中 $a$ 为双曲线的实半轴长，于是$$PA+PF=PA+PF'+2a\geqslant AF'+2a,$$因此当 $P$ 位于线段 $AF'$ 与双曲线左支的交点位置时，$\triangle APF$ 的周长最小，如图．
此时直线 $AF'$ 的方程为$$AF':y=2\sqrt{6}(x+3),$$与双曲线方程联立解得 $x=-7$（舍）或 $x=-2$．于是 $P$ 点坐标为 $P\left(-2,2\sqrt 6\right)$．因此此时 $\triangle APF$ 的面积为$$\dfrac 12\cdot FF'\cdot (y_A-y_P)=12\sqrt 6.$$
此时直线 $AF'$ 的方程为$$AF':y=2\sqrt{6}(x+3),$$与双曲线方程联立解得 $x=-7$（舍）或 $x=-2$．于是 $P$ 点坐标为 $P\left(-2,2\sqrt 6\right)$．因此此时 $\triangle APF$ 的面积为$$\dfrac 12\cdot FF'\cdot (y_A-y_P)=12\sqrt 6.$$
题目
答案
解析
备注
