查看数据源：590be11b6cddca00078f3acc
已知 $E,F$ 是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$b>a>0$）的左、右焦点，$F$ 也是抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点，且两条曲线交于不同的两点 $A,B$，若 $5|AF|=4|BE|$，则双曲线的离心率为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的基本量
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    抛物线
    >
    抛物线的几何量
    >
    抛物线的基本量与几何性质
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的焦半径公式I
【答案】
$4\pm \sqrt 7$
【解析】
设抛物线的准线为 $l$，则 $l$ 通过点 $E$，根据题意有 $p=2c$．由双曲线和抛物线的对称性可得 $|AF|=|BF|$，再根据双曲线的定义，有$$|BF|=8a,|BE|=10a,$$进而 $B$ 点的横坐标为 $8a-c$，根据双曲线的焦半径公式 I，有$$\dfrac ca\cdot (8a-c)+a=10a,$$即$$e^2-8e+9=0,$$其中 $e$ 为双曲线的离心率，解得 $e=4\pm \sqrt 7$．
题目 答案 解析 备注
0.118850s