设 $S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_1=-1,a_{n+1}=S_nS_{n+1}$，则 $S_n=$ ．
【难度】
【出处】
2015年高考全国II卷（理）
【标注】
【答案】
$-\dfrac 1n$
【解析】
题中欲求结论为 $S_n$，因此利用数列的项与前 $n$ 项和的关系：$$a_n=\begin{cases} S_1,&n=1,\\S_n-S_{n-1},&n\geqslant 2,\end{cases}$$将条件全都转化为关于 $S_n$ 的表达式，也即
已知 $S_1=-1$，$S_{n+1}-S_n=S_n\cdot S_{n+1}$，求 $S_n$．
显然 $S_n\neq 0$，在递推式两边同时除以 $S_n\cdot S_{n+1}$，可得$$\dfrac{1}{S_{n+1}}-\dfrac{1}{S_{n}}=-1,$$于是数列 $\left\{\dfrac{1}{S_n}\right\}$ 是以 $\dfrac{1}{S_1}=-1$ 为首项，$-1$ 为公差的等差数列，其通项$$\dfrac{1}{S_n}=-n,$$因此 $S_n=-\dfrac 1n$．
已知 $S_1=-1$，$S_{n+1}-S_n=S_n\cdot S_{n+1}$，求 $S_n$．
显然 $S_n\neq 0$，在递推式两边同时除以 $S_n\cdot S_{n+1}$，可得$$\dfrac{1}{S_{n+1}}-\dfrac{1}{S_{n}}=-1,$$于是数列 $\left\{\dfrac{1}{S_n}\right\}$ 是以 $\dfrac{1}{S_1}=-1$ 为首项，$-1$ 为公差的等差数列，其通项$$\dfrac{1}{S_n}=-n,$$因此 $S_n=-\dfrac 1n$．
题目
答案
解析
备注
