已知曲线 $y=x+\ln x$ 在点 $(1,1)$ 处的切线与曲线 $y=ax^2+(a+2)x+1$ 相切，则 $a=$ ．
【难度】
【出处】
2015年高考全国II卷（文）
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
先求曲线 $y=x+\ln x$ 的切线方程，再解决直线与抛物线的位置关系的问题即可．
函数 $y=x+\ln x$ 的导函数$$y'=1+\dfrac 1x,$$于是曲线 $y=x+\ln x$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为$$y=\left.\left(1+\dfrac 1x\right)\right|_{x=1}(x-1)+1,$$即$$y=2x-1.$$直线 $y=2x-1$ 与抛物线 $y=ax^2+(a+2)x+1$ 相切，等价于联立后方程$$ax^2+(a+2)x+1=2x-1$$的判别式为 $0$，即 $a^2-8a=0$，解得 $a=0$（舍去）或 $a=8$．
函数 $y=x+\ln x$ 的导函数$$y'=1+\dfrac 1x,$$于是曲线 $y=x+\ln x$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为$$y=\left.\left(1+\dfrac 1x\right)\right|_{x=1}(x-1)+1,$$即$$y=2x-1.$$直线 $y=2x-1$ 与抛物线 $y=ax^2+(a+2)x+1$ 相切，等价于联立后方程$$ax^2+(a+2)x+1=2x-1$$的判别式为 $0$，即 $a^2-8a=0$，解得 $a=0$（舍去）或 $a=8$．
题目
答案
解析
备注
