已知正整数 $n\geqslant 3$，且 $\sin^n\theta+\cos^n\theta=1$，则 $\sin\theta+\cos\theta=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\begin{cases} \pm 1,& 2\mid n,\\ 1,& 2 \nmid n.\end{cases}$
【解析】
由于$$\sin^n\theta\leqslant \sin^2\theta,\cos^n\theta\leqslant \cos^2\theta,$$于是$$\sin^n\theta+\cos^n\theta\leqslant 1.$$考虑到当 $|x|\leqslant 1$ 且 $n\geqslant 3$ 时，$x^n\leqslant x^2$ 的取等条件是$$x=\begin{cases} -1,1,0,& 2\mid n,\\ 1,0,&2 \nmid n,\end{cases}$$又 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$，于是$$\sin\theta+\cos\theta=\begin{cases} \pm 1,& 2\mid n,\\ 1,& 2 \nmid n.\end{cases}$$
题目
答案
解析
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