方程 $x^2=x\sin x+\cos x$ 的实数解个数为 ．
【难度】
【出处】
2013年复旦大学千分考试题（节选）
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
令 $f(x)=x^2-x\sin x-\cos x$，则 $f(x)$ 为偶函数，只需考虑 $x\geqslant 0$ 时的情况即可．当 $x\geqslant 0$ 时，有$$f'(x)=x(2-\cos x)\geqslant 0,$$所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，又 $f(0)<-1$，且 $f(2)>0$，所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有且只有一个零点，从而 $f(x)$ 共有两个零点，即方程在 $\mathbb{R}$ 上有两个实数解．
题目
答案
解析
备注
