任取一个小于 $100$ 位的正整数，它的三次方的十位数与个位数均是 $1$，则这种取法的概率是 ．
【难度】
【出处】
2012年复旦大学千分考试题（节选）
【标注】
【答案】
$\dfrac 1{99}$
【解析】
小于 $100$ 的正整数有 $99$ 个，如果它满足条件，则它的个位只能为 $1$，且一定是个两位数，设它为 $10x+1,x\in\mathbb {N}^*$，则$$(10x+1)^3=1000x^3+300x^2+30x+1,$$由题意知该数减去 $11$ 可以被 $100$ 整除，即$$30x+1-11=30x-10=10(3x-1)$$可以被 $100$ 整除，所以 $x=7$．
从而所求概率为 $\dfrac 1{99}$．
从而所求概率为 $\dfrac 1{99}$．
题目
答案
解析
备注
