复数 $z$ 为虚数，且 $\left| z \right| = 1$，$z\left( {1 - 2{\mathrm{i}}} \right)$ 的实部为 $1$，求 $z =$ ．
【难度】
【出处】
2012年清华大学保送生测试数学试题
【标注】
【答案】
$-\dfrac 35+\dfrac 45{\mathrm i}$
【解析】
设 $z = a + b{\mathrm{i}}$（$b \ne 0$），则 $\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 1$ 且 $a + 2b = 1$，解得 $a=- \dfrac{3}{5}$，$b=\dfrac{4}{5}$．
题目
答案
解析
备注
