设 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 是等差数列，$\left\{ {{b_n}} \right\}$ 是等比数列，记 $\left\{ {{a_n}} \right\}$，$\left\{ {{b_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_n$，$T_n$，若 $a_3=b_3$，$a_4=b_4$，且 $\dfrac{{{S_5} - {S_3}}}{{{T_4} - {T_2}}} = 5$，则 $\dfrac{{{a_5} + {a_3}}}{{{b_5} + {b_3}}} = $ ．
【难度】
【出处】
2012年卓越人才培养合作高校自主选拔学业能力测试数学试题
【标注】
【答案】
$ - \dfrac{3}{5}$
【解析】
不妨设 ${a_3} = {b_3} = a$，等差数列的公差为 $d$，等比数列的公比为 $q$，
于是有 $a + d = aq$．
而$$\dfrac{{{S_5} - {S_3}}}{{{T_4} - {T_2}}} = \dfrac{{{a_4} + {a_5}}}{{{b_3} + {b_4}}} = \dfrac{{2a + 3d}}{{a\left( {1 + q} \right)}} = 5.$$联立知 $d=-4a$，$q=-3$．则$$\dfrac{{{a_5} + {a_3}}}{{{b_5} + {b_3}}} = \dfrac{{2a + 2d}}{{a\left( {1 + {q^2}} \right)}} = - \dfrac{3}{5}.$$
于是有 $a + d = aq$．
而$$\dfrac{{{S_5} - {S_3}}}{{{T_4} - {T_2}}} = \dfrac{{{a_4} + {a_5}}}{{{b_3} + {b_4}}} = \dfrac{{2a + 3d}}{{a\left( {1 + q} \right)}} = 5.$$联立知 $d=-4a$，$q=-3$．则$$\dfrac{{{a_5} + {a_3}}}{{{b_5} + {b_3}}} = \dfrac{{2a + 2d}}{{a\left( {1 + {q^2}} \right)}} = - \dfrac{3}{5}.$$
题目
答案
解析
备注
