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函数 $f\left( \theta \right) = \dfrac{{\sin \theta }}{{2 + \cos \theta }}\left( {\theta \in {\mathbb {R}}} \right)$ 的值域为  ．
【难度】
【出处】
2012年卓越人才培养合作高校自主选拔学业能力测试数学试题
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    三角函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
【答案】
$\left[-\dfrac {\sqrt 3}{3},\dfrac {\sqrt 3}{3}\right]$
【解析】
不妨设 $y = \dfrac{{\sin \theta }}{{2 + \cos \theta }} $，则 $ \sin \theta - y\cos \theta = 2y$，于是有 $\sqrt {{1^2} + {y^2}} \geqslant 2y$，解得 $y \in \left[-\dfrac {\sqrt 3}{3},\dfrac {\sqrt 3}{3}\right]$．
其他方法直接画图转化为单位圆上的点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 与点 $(-2,0)$ 连线的斜率范围．
题目 答案 解析 备注
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