设 $x \in \left( {0,\dfrac{{\rm{\pi }}}{2}} \right)$，则函数 $\left( {{{\sin }^2}x + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\left( {{{\cos }^2}x + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2000年上海交通大学保送生测试题
【标注】
【答案】
$\dfrac{{25}}{4}$
【解析】
因为\[\begin{split}\left( {{{\sin }^2}x + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\left( {{{\cos }^2}x + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)& = \dfrac{{\left( {{{\sin }^4}x + 1} \right)\left( {{{\cos }^4}x + 1} \right)}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\\& = \dfrac{{{{\sin }^4}{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x + 1}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\\&= \dfrac{{{{\sin }^4}x{{\cos }^4}x + {{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + 1}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}.\end{split}\]设$$t = {\sin ^2}x{\cos ^2}x = {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x} \right)^2} \in \left( {0,\dfrac{1}{4}} \right],$$则原式的值为$$\dfrac{{{t^2} + 2 - 2t}}{t} = t + \dfrac{2}{t} - 2.$$于是当 $t = \dfrac{1}{4}$ 时，原式取最小值 $\dfrac{{25}}{4}$．
题目
答案
解析
备注
