已知 ${\mathrm {e}}$ 为自然对数的底数，设函数 $f\left( x \right) = \left( {{{\mathrm {e}}^x} - 1} \right){\left( {x - 1} \right)^k} \left(k = 1,2 \right)$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考浙江卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
分别代入 $k=1$ 和 $k=2$ 判断即可．当 $k=1$ 时，\[f'\left(x\right)={\mathrm{e}}^x\cdot x-1,\]因为 $f'\left(1\right)$ 不等于 $0$，所以 $1$ 不是 $f\left(x\right)$ 的极值点，所以A、B不成立；
当 $k=2$ 时，\[f'\left(x\right)=\left(x-1\right)\left({\mathrm{e}}^x\cdot x+{\mathrm{e}}^x-2\right),\]① 当 $x=1$ 时，$f'\left(x\right)=0$；
② 当 $x>1$ 时，\[{\mathrm{e}}^x\cdot x>1,{\mathrm{e}}^x>1,\]所以 $f'\left(x\right)>0$；
③ 当 $\dfrac 12<x<1$ 时，\[\dfrac 12\sqrt {\mathrm{e}}<{\mathrm{e}}^x\cdot x<{\mathrm{e}},\sqrt {\mathrm{e}}<{\mathrm{e}}^x<{\mathrm{e}},\]${\mathrm{e}}^x\cdot x+{\mathrm{e}}^x>2$，所以 $f'\left(x\right)<0$．
由上可知，$1$ 是 $f\left(x\right)$ 的极小值点．
当 $k=2$ 时，\[f'\left(x\right)=\left(x-1\right)\left({\mathrm{e}}^x\cdot x+{\mathrm{e}}^x-2\right),\]① 当 $x=1$ 时，$f'\left(x\right)=0$；
② 当 $x>1$ 时，\[{\mathrm{e}}^x\cdot x>1,{\mathrm{e}}^x>1,\]所以 $f'\left(x\right)>0$；
③ 当 $\dfrac 12<x<1$ 时，\[\dfrac 12\sqrt {\mathrm{e}}<{\mathrm{e}}^x\cdot x<{\mathrm{e}},\sqrt {\mathrm{e}}<{\mathrm{e}}^x<{\mathrm{e}},\]${\mathrm{e}}^x\cdot x+{\mathrm{e}}^x>2$，所以 $f'\left(x\right)<0$．
由上可知，$1$ 是 $f\left(x\right)$ 的极小值点．
题目
答案
解析
备注
