函数 $f(x) = \dfrac{{1 + \cos 2x + 8{{\sin }^2}x}}{{\sin 2x}}$（$0 < x < \dfrac{{{\pi }}}{2}$）的值域为 ．
【难度】
【出处】
2011年南京理工大学自主招生暨保送生考试数学试题
【标注】
【答案】
$\left[ {4,+ \infty } \right)$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}\dfrac{{1 + \cos 2x + 8{{\sin }^2}x}}{{\sin 2x}} &= \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + {{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x + 8{{\sin }^2}x}}{{2\sin x\cos x}}\\&= \dfrac{{4{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} \\&= 4 \cdot \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} \\&\geqslant 4,\end{split}\]当 $4 \cdot \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} = \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}$，即 $\tan x = \dfrac{1}{2}$ 时取得等号．
所以原函数的值域为 $\left[ {4 , + \infty } \right)$．
所以原函数的值域为 $\left[ {4 , + \infty } \right)$．
题目
答案
解析
备注
