某公司在2010年投资了一个项目，每年都既有现金投入，又有现金收入．已知 $2010$ 年度公司投入了 $1000$ 万元，以后每年投入将比上年减少 $20 \%$；$2010$ 年度公司收入了 $500$ 万元，以后每年收入会比上年增加 $25\%$．按此计算，公司将于 年即可收回全部投入．
（参考数据：${0.8^6} \approx 0.262,{0.8^5} \approx 0.328,{0.8^4} \approx 0.410,{0.8^3} = 0.512$）
（参考数据：${0.8^6} \approx 0.262,{0.8^5} \approx 0.328,{0.8^4} \approx 0.410,{0.8^3} = 0.512$）
【难度】
【出处】
2011年南京理工大学自主招生暨保送生考试数学试题
【标注】
【答案】
$2014$
【解析】
假设经过 $n$ 次投入可以收回全部投入，则
总投入为$$\begin{split} 1000\left[ {1 + \dfrac{4}{5} + {{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}^2} +\cdots+ {{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}^{n - 1}}} \right] =& 1000 \cdot \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}^n}}}{{1 - \dfrac{4}{5}}} \\=& 5000 \cdot \left[ {1 - {{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}^n}} \right],\end{split} $$总收入为$$\begin{split} 500\left[ {1 + \dfrac{5}{4} + {{\left( {\dfrac{5}{4}} \right)}^2} +\cdots+ {{\left( {\dfrac{5}{4}} \right)}^{n - 1}}} \right] = &500 \cdot \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{5}{4}} \right)}^n}}}{{1 - \dfrac{5}{4}}} \\=& 2000 \cdot \left[ {{{\left( {\dfrac{5}{4}} \right)}^n} - 1} \right].\end{split} $$而$$5000 \cdot \left[ {1 - {{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}^n}} \right] \leqslant 2000\left[ {{{\left( {\dfrac{5}{4}} \right)}^n} - 1} \right],$$其中 $n \in {{\mathbb{N}}^*}$．即$$\dfrac{{0.4}}{{{{0.8}^n}}} + {0.8^n} \geqslant 1.4.$$$n = 3$ 时，左边 $ = \dfrac{{0.4}}{{0.512}} + 0.512 < 0.8 + 0.512 < 1.4$；
$n = 4$ 时，左边 $ \approx \dfrac{{0.4}}{{0.410}} + 0.410 < 1.4$；
$n = 5$ 时，左边 $ \approx \dfrac{{0.4}}{{0.328}} + 0.328$ $ > 1.4 $．
因此在 $ 2014$ 年时可以收回全部投入．
总投入为$$\begin{split} 1000\left[ {1 + \dfrac{4}{5} + {{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}^2} +\cdots+ {{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}^{n - 1}}} \right] =& 1000 \cdot \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}^n}}}{{1 - \dfrac{4}{5}}} \\=& 5000 \cdot \left[ {1 - {{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}^n}} \right],\end{split} $$总收入为$$\begin{split} 500\left[ {1 + \dfrac{5}{4} + {{\left( {\dfrac{5}{4}} \right)}^2} +\cdots+ {{\left( {\dfrac{5}{4}} \right)}^{n - 1}}} \right] = &500 \cdot \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{5}{4}} \right)}^n}}}{{1 - \dfrac{5}{4}}} \\=& 2000 \cdot \left[ {{{\left( {\dfrac{5}{4}} \right)}^n} - 1} \right].\end{split} $$而$$5000 \cdot \left[ {1 - {{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}^n}} \right] \leqslant 2000\left[ {{{\left( {\dfrac{5}{4}} \right)}^n} - 1} \right],$$其中 $n \in {{\mathbb{N}}^*}$．即$$\dfrac{{0.4}}{{{{0.8}^n}}} + {0.8^n} \geqslant 1.4.$$$n = 3$ 时，左边 $ = \dfrac{{0.4}}{{0.512}} + 0.512 < 0.8 + 0.512 < 1.4$；
$n = 4$ 时，左边 $ \approx \dfrac{{0.4}}{{0.410}} + 0.410 < 1.4$；
$n = 5$ 时，左边 $ \approx \dfrac{{0.4}}{{0.328}} + 0.328$ $ > 1.4 $．
因此在 $ 2014$ 年时可以收回全部投入．
题目
答案
解析
备注
