设 $\left[ x \right]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如：$\left[ { - 1.3} \right] =- 2 ,\left[ 2 \right] = 2 , \left[ {2.5} \right] = 2$ 等．则方程 $\left[ {\tan x} \right] = 2{\sin ^2}x$ 在 $\left[ {0 , 2{{\pi }}} \right)$ 内的解组成的集合为 ．
【难度】
【出处】
2011年南京理工大学自主招生暨保送生考试数学试题
【标注】
【答案】
$\left\{ {0, \dfrac{{{\pi }}}{4} ,{{\pi }}, \dfrac{{5{{\pi }}}}{4}} \right\}$
【解析】
$\left[ {\tan x} \right] = 2{\sin ^2}x\in [0,2]$，所以 $\left[ {\tan x} \right] \in \left[ {0 , 2} \right]$，于是 $\left[ {\tan x} \right]$ 只有三种取值．
情形一 $\left[ {\tan x} \right] = 0$，则 $\sin x = 0$，此时 $x = 0$ 或 $x = {{\pi }}$；
情形二 $\left[ {\tan x} \right] = 1$，则 $\sin x = \pm\dfrac {\sqrt 2}2$，此时 $x = \dfrac{{{\pi }}}{4}$ 或 $x = \dfrac{{5{{\pi }}}}{4}$；
情形三 $\left[ {\tan x} \right] = 2$，则 $\sin x = \pm 1$，此时无解．
题目
答案
解析
备注
