已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足：$\dfrac{{{a_{n + 1}} + {a_n} - 1}}{{{a_{n + 1}} - {a_n} + 1}} = n(n \in {{\mathbb{N}}^ * })$，且 ${a_4} = 28$，则 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的通项公式为 ${a_n} = $ ．
【难度】
【出处】
2011年南京理工大学自主招生暨保送生考试数学试题
【标注】
【答案】
$\begin{cases}
0, &n = 1 \\
n\left( {2n - 1} \right) , &n = 2 , 3 , \cdots
\end{cases}$
0, &n = 1 \\
n\left( {2n - 1} \right) , &n = 2 , 3 , \cdots
\end{cases}$
【解析】
$\dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \dfrac{{{a_n} - 1}}{{n - 1}}$，设 ${b_n} = \dfrac{{{a_n}}}{n}$，则$${b_{n + 1}} = \dfrac{{n{b_n} - 1}}{{n - 1}}.$$用不动点法，$x = \dfrac{{nx - 1}}{{n - 1}}$，解得 $x = 1$，所以 ${c_n} = {b_n} - 1$，则\[\begin{split}&{c_{n + 1}} + 1 = \dfrac{{n\left( {{c_n} + 1} \right) - 1}}{{n - 1}},\\&{c_{n + 1}} = \dfrac{{n{c_n}}}{{n - 1}},\\&\dfrac{{{c_{n + 1}}}}{n} = \dfrac{{{c_n}}}{{n - 1}}.\end{split}\]也就是说，数列 ${d_n} = \dfrac{{{c_n}}}{{n - 1}}$ 是常数列，设为 $A$，则 ${c_n} = \left( {n - 1} \right)A$，所以$$ {b_n} = A\left({n - 1} \right)+ 1,$$进一步$$ {a_n} = n\left[ {A\left({n - 1} \right)+ 1} \right].$$${a_4} = 28 $，所以 $ 28 = 4\left({3A + 1} \right)$，解得 $ A = 2$．因此$$ {a_n} = n\left({2n - 1} \right),n = 2,3,\cdots.$$
题目
答案
解析
备注
