已知函数 $f\left( x \right) = \sin x - \dfrac{1}{3}x ,x \in \left[ {0 ,{{\pi }}} \right]$．$\cos {x_0} = \dfrac{1}{3}$（${x_0} \in \left[ {0, {{\pi }}} \right]$），那么下面命题中真命题的序号是 ．
① $f(x)$ 的最大值为 $f({x_0})$；
② $f(x)$ 的最小值为 $f({x_0})$；
③ $f(x)$ 在 $\left[ {0 , {x_0}} \right]$ 上是减函数；
④ $f(x)$ 在 $\left[ {{x_0} ,{{\pi }}} \right]$ 上是减函数．
① $f(x)$ 的最大值为 $f({x_0})$；
② $f(x)$ 的最小值为 $f({x_0})$；
③ $f(x)$ 在 $\left[ {0 , {x_0}} \right]$ 上是减函数；
④ $f(x)$ 在 $\left[ {{x_0} ,{{\pi }}} \right]$ 上是减函数．
【难度】
【出处】
2011年南京理工大学自主招生暨保送生考试数学试题
【标注】
【答案】
①④
【解析】
$f'\left( x \right) = \cos x - \dfrac{1}{3}$，而 $\cos x$ 在 $\left[ {0,{{\pi }}} \right]$ 上是减函数，所以 $f'\left( x \right)$ 在 $\left[ {0,{x_0}} \right]$ 上有 $f'\left( x \right) \geqslant 0$，在 $\left[ {{x_0} , {{\pi }}} \right]$ 上有 $f'\left( x \right) \leqslant 0$，于是 $f\left( x \right)$ 的最大值 $f\left( {{x_0}} \right)$，且在 $\left[ {{x_0} ,{{\pi }}} \right]$ 上是减函数．
题目
答案
解析
备注
