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如图，${F_1}$，${F_2}$ 是椭圆 ${C_1}$：$\dfrac{x^2}{4} + {y^2} = 1$ 与双曲线 ${C_2}$ 的公共焦点，$A$，$B$ 分别是 ${C_1}$，${C_2}$ 在第二、四象限的公共点．若四边形 $A{F_1}B{F_2}$ 为矩形，则 ${C_2}$ 的离心率是 \((\qquad)\)  
A: $\sqrt 2 $
B: $\sqrt 3 $
C: $\dfrac{3}{2}$
D: $\dfrac{\sqrt 6 }{2}$
【难度】
【出处】
2013年高考浙江卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的定义
    >
    椭圆的第一定义
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的几何量
    >
    椭圆的基本量
【答案】
D
【解析】
本题需要注意两个曲线的联系，利用定义构造 $2a$．由题意可得\[|F_1F_2|=2\sqrt 3 ,\]设 $ |AF_1|=m $，$ |AF_2|=n $，则由椭圆的定义可得\[ m+n=4.\]又四边形 $A{F_1}B{F_2}$ 为矩形，所以\[ m^2+n^2=|F_1F_2|^2=12,\]从而有\[mn=2.\]所以\[\left(m-n\right)^2=m^2+n^2-2mn=8,\]故\[|m-n|=2\sqrt 2.\]由双曲线的定义知，双曲线的实轴长为 $2\sqrt 2$，所以双曲线的离心率\[ e=\dfrac{2\sqrt 3}{2\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 6}{2} .\]
题目 答案 解析 备注
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