已知 $a,b,c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边，$a\ne 1$，$b<c$，且满足$${\log_{b+c}}a+{\log_{c-b}}a=2{\log_{b+c}}a\cdot{\log_{c-b}}a,$$则 $\triangle ABC$ 是 三角形．
【难度】
【出处】
2000年上海交通大学连读班测试题
【标注】
【答案】
直角
【解析】
由$${\log_{b+c}}a+{\log_{c-b}}a=2{\log_{b+c}}a\cdot{\log_{c-b}}a,$$得$$ \dfrac{{\ln a}}{{\ln\left({b+c}\right)}}+\dfrac{{\ln a}}{{\ln\left({c-b}\right)}}=\dfrac{{2{{\ln}^2}a}}{{\ln\left({b+c}\right)\ln\left({c-b}\right)}},$$得$$ \ln\left({c-b}\right)+\ln\left({b+c}\right)=2\ln a,$$所以$$ {c^2}-{b^2}={a^2},$$即$$ {c^2}={a^2}+{b^2}.$$
题目
答案
解析
备注
