如图放置的边长为 $ 1 $ 的正方形 $ PABC $ 沿 $ x $ 轴滚动．设顶点 $ P\left(x,y\right) $ 的纵坐标与横坐标的函数关系是 $y = f\left(x\right)$，则 $f\left(x\right)$ 的最小正周期为 ；$y = f\left(x\right)$ 在其两个相邻零点间的图象与 $ x $ 轴所围区域的面积为 ．
说明：“正方形 $ PABC $ 沿 $ x $ 轴滚动”包含沿 $ x $ 轴正方向和沿 $ x $ 轴负方向滚动．沿 $ x $ 轴正方向滚动是指以顶点 $ A $ 为中心顺时针旋转，当顶点 $ B $ 落在 $ x $ 轴上时，再以顶点 $ B $ 为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形 $ PABC $ 可以沿着 $ x $ 轴负方向滚动．
说明：“正方形 $ PABC $ 沿 $ x $ 轴滚动”包含沿 $ x $ 轴正方向和沿 $ x $ 轴负方向滚动．沿 $ x $ 轴正方向滚动是指以顶点 $ A $ 为中心顺时针旋转，当顶点 $ B $ 落在 $ x $ 轴上时，再以顶点 $ B $ 为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形 $ PABC $ 可以沿着 $ x $ 轴负方向滚动．【难度】
【出处】
2010年高考北京卷（理）
【标注】
【答案】
$4$；$\pi+1$
【解析】
这是一个动态几何问题，$P$ 点的运动轨迹比较简单．
如图，依次以 $A$、$B$、$C$ 为圆心，$AP$，$BP$，$CP$ 为半径作三段圆心角为 $\dfrac {\pi}{2}$ 的圆弧 $\overparen{P_1P_2}$，$\overparen{P_2P_3}$，$\overparen{P_3P_4}$，这三段圆弧首尾相接形成 $y=f(x)$ 在一个周期内的图象．
据此，函数 $f(x)$ 的最小正周期为正方形 $PABC$ 的周长为 $4$．$y=f(x)$ 在两个相邻零点间的图象与 $x$ 轴所围成区域的面积为$$\dfrac {\pi\cdot PA^2+\pi\cdot PB^2+\pi\cdot PC^2 }{4}+S_{\triangle {P_2AB}}+S_{\triangle {P_3BC}}=\pi+1.$$
如图，依次以 $A$、$B$、$C$ 为圆心，$AP$，$BP$，$CP$ 为半径作三段圆心角为 $\dfrac {\pi}{2}$ 的圆弧 $\overparen{P_1P_2}$，$\overparen{P_2P_3}$，$\overparen{P_3P_4}$，这三段圆弧首尾相接形成 $y=f(x)$ 在一个周期内的图象．
据此，函数 $f(x)$ 的最小正周期为正方形 $PABC$ 的周长为 $4$．$y=f(x)$ 在两个相邻零点间的图象与 $x$ 轴所围成区域的面积为$$\dfrac {\pi\cdot PA^2+\pi\cdot PB^2+\pi\cdot PC^2 }{4}+S_{\triangle {P_2AB}}+S_{\triangle {P_3BC}}=\pi+1.$$
题目
答案
解析
备注
