设 $a,b\in\mathbb{R}$，关于 $x$ 的方程 $(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)=0$ 的四个实根构成以 $q$ 为公比的等比数列，若 $q\in\left[\dfrac 13,2\right ]$，则 $ab$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[4,\dfrac{112}{9}\right]$
【解析】
设四个实根构成的等比数列为$$\dfrac {m}{(\sqrt q)^3},\dfrac {m}{\sqrt q},m\sqrt q,m\cdot(\sqrt q)^3,$$则根据题意知$$\dfrac {m}{(\sqrt q)^3}\cdot m\cdot(\sqrt q)^3=\dfrac {m}{\sqrt q}\cdot m\sqrt q=1,$$所以 $m^2=1$．
记 $\sqrt q=t\in\left[\dfrac{\sqrt 3}{3},\sqrt 2\right ]$，有\[ab=\left(\dfrac {m}{t^3}+mt^3\right)\cdot\left(\dfrac mt+mt\right)=\left(t+\dfrac 1t\right )^2\left(t^2+\dfrac {1}{t^2}-1\right)=\left(t+\dfrac 1t\right)^4-3\left(t+\dfrac 1t\right )^2.\]记 $s=t+\dfrac 1t$，则 $s\in\left[2,\dfrac 43\sqrt 3\right ]$，从而 $s^2\in\left[4,\dfrac {16}{3}\right ]$，于是$$ ab=s^4-3s^2=\left(s^2-\dfrac 32\right )^2-\dfrac 94\in\left[4,\dfrac {112}{9}\right].$$
记 $\sqrt q=t\in\left[\dfrac{\sqrt 3}{3},\sqrt 2\right ]$，有\[ab=\left(\dfrac {m}{t^3}+mt^3\right)\cdot\left(\dfrac mt+mt\right)=\left(t+\dfrac 1t\right )^2\left(t^2+\dfrac {1}{t^2}-1\right)=\left(t+\dfrac 1t\right)^4-3\left(t+\dfrac 1t\right )^2.\]记 $s=t+\dfrac 1t$，则 $s\in\left[2,\dfrac 43\sqrt 3\right ]$，从而 $s^2\in\left[4,\dfrac {16}{3}\right ]$，于是$$ ab=s^4-3s^2=\left(s^2-\dfrac 32\right )^2-\dfrac 94\in\left[4,\dfrac {112}{9}\right].$$
题目
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