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已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > 0,b > 0\right)$ 的两条渐近线与抛物线 ${y^2} = 2px\left(p > 0\right)$ 的准线分别交于 $A$，$B$ 两点，$O$ 为坐标原点．若双曲线的离心率为 $ 2 $，$\triangle AOB$ 的面积为 $\sqrt 3 $，则 $p = $  \((\qquad)\)
A: $ 1 $
B: $\dfrac{3}{2}$
C: $ 2 $
D: $ 3 $
【难度】
【出处】
2013年高考天津卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的基本量
【答案】
C
【解析】
把双曲线的渐近线与抛物线的准线联立，表示出 $A$、$B$ 两点的坐标，从而表示出 $\triangle AOB$ 的面积，再结合双曲线的离心率，和本身 $a$、$b$、$c$ 的关系，三个方程三个未知数联立求解．不妨设点 $A$ 在第二象限，由题意得 $A\left(-\dfrac{p}2,\dfrac{bp}{2a}\right)$，$S_{\triangle AOB}=\dfrac12\times\dfrac{p}2\times\dfrac{bp}{a}=\sqrt3 \quad \cdots \cdots ① $．又 $\dfrac ca=2$，$c^2=a^2+b^2$，可得 $\dfrac ba=\sqrt3$，代入 $ ① $ 得 $p=2$．
题目 答案 解析 备注
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