在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = \dfrac{\mathrm \pi} {4},AB = \sqrt 2,BC = 3$，则 $\sin \angle BAC = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考天津卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
本题先利用余弦定理求出 $AC$，然后利用正弦定理即可求解．由余弦定理得：\[\begin{split}AC^2&=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot \cos \angle ABC\\&=\left(\sqrt 2\right)^2+3^2-2\cdot\sqrt 2\cdot 3\cdot \cos \dfrac{\mathrm \pi} {4}\\&=5,\end{split}\]所以 $ AC=\sqrt 5$．
又由正弦定理可得：\[\dfrac{BC}{\sin \angle BAC}=\dfrac{AC}{\sin \angle ABC},\]即 $\dfrac{3}{\sin \angle BAC}=\dfrac{\sqrt 5}{\sin \angle ABC}=\dfrac{\sqrt 5}{\sin \dfrac{\mathrm \pi} {4}}$．所以 $\sin \angle BAC=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$．
又由正弦定理可得：\[\dfrac{BC}{\sin \angle BAC}=\dfrac{AC}{\sin \angle ABC},\]即 $\dfrac{3}{\sin \angle BAC}=\dfrac{\sqrt 5}{\sin \angle ABC}=\dfrac{\sqrt 5}{\sin \dfrac{\mathrm \pi} {4}}$．所以 $\sin \angle BAC=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$．
题目
答案
解析
备注
