设 $\sin \alpha $ 和 $\sin \beta $ 分别是 $\sin \theta $ 与 $\cos \theta $ 的算术平均和几何平均，则 $\dfrac{{\cos 2\alpha }}{{\cos 2\beta }} = $ ．
【难度】
【出处】
2001年上海交通大学连读班测试
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【解析】
根据已知$$2\sin \alpha = \sin \theta + \cos \theta ,{\sin ^2}\beta = \sin \theta \cos \theta .$$于是\[\dfrac{{\cos 2\alpha }}{{\cos 2\beta }} = \dfrac{{1 - 2{{\sin }^2}\alpha }}{{1 - 2{{\sin }^2}\beta }} = \dfrac{{1 - 2 \cdot {{\left( {\dfrac{{\sin \theta + \cos \theta }}{2}} \right)}^2}}}{{1 - 2\sin \theta \cos \theta }} = \dfrac{{1 - \dfrac{{1 + \sin 2\theta }}{2}}}{{1 - \sin 2\theta }} = \dfrac{1}{2}.\]
题目
答案
解析
备注
