$\left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right) \cdots \left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2002年上海交通大学保送生连读班考试
【标注】
【答案】
$\dfrac{{n + 1}}{{2n}}$
【解析】
因为$$1 - \dfrac{1}{{{n^2}}} = \dfrac{{n + 1}}{n} \cdot \dfrac{{n - 1}}{n},$$所以\[\begin{split} \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right) \cdots \left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)&= \left( {\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdots \dfrac{{n + 1}}{n}} \right) \cdot \left( {\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdots \dfrac{{n - 1}}{n}} \right)\\& = \dfrac{{n + 1}}{2} \cdot \dfrac{1}{n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n}}.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
