$a,b,c$ 是不同的正整数，若集合$$\{a+b,b+c,c+a\}=\{n^{2},(n+1)^{2},(n+2)^{2}\},$$其中 $n$ 为正整数，则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
$1297$
【解析】
因为$$n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}=2(a+b+c)$$为偶数，所以 $n,n+1,n+2$ 两奇一偶，即 $n$ 为奇数．
显然 $n>1$ 时不满足条件．
$n=3$ 时，有$$a+b+c=25,$$此时导致 $a=0$，矛盾．
所以 $n\geqslant 5$，当 $n=5$ 时，由$$\begin{cases}a+b=25,\\a+c=36,\\b+c=49,\end{cases}$$解得 $a=6,b=19,c=30$，此时$$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1297.$$
显然 $n>1$ 时不满足条件．
$n=3$ 时，有$$a+b+c=25,$$此时导致 $a=0$，矛盾．
所以 $n\geqslant 5$，当 $n=5$ 时，由$$\begin{cases}a+b=25,\\a+c=36,\\b+c=49,\end{cases}$$解得 $a=6,b=19,c=30$，此时$$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1297.$$
题目
答案
解析
备注
