若 $a,b$ 满足关系：$a\sqrt {1 - {b^2}} + b\sqrt {1 - {a^2}} = 1$，则 ${a^2} + {b^2} = $ ．
【难度】
【出处】
2002年上海交通大学保送生连读班考试
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
因为$$a\sqrt {1 - {b^2}} + b\sqrt {1 - {a^2}} \leqslant \sqrt {\left( {{a^2} + 1 - {a^2}} \right)\left( {1 - {b^2} + {b^2}} \right)} = 1,$$当且仅当 $\dfrac{a}{{\sqrt {1 - {b^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {1 - {a^2}} }}{b}$ 时取等号．
所以$${a^2}{b^2} = \left( {1 - {a^2}} \right)\left( {1 - {b^2}} \right),$$即 ${a^2} + {b^2} = 1$．
所以$${a^2}{b^2} = \left( {1 - {a^2}} \right)\left( {1 - {b^2}} \right),$$即 ${a^2} + {b^2} = 1$．
题目
答案
解析
备注
