${\left( {{x^2} + 1 - \dfrac{1}{{2x}}} \right)^9}$ 的展开式中 ${x^9}$ 的系数是 ．
【难度】
【出处】
2002年上海交通大学保送生连读班考试
【标注】
【答案】
$ - \dfrac{{525}}{2}$
【解析】
${x^9}$ 由两种方式得到：$9$ 个 $\left( {{x^2} + 1 - \dfrac{1}{{2x}}} \right)$ 中，
方式一 $5$ 个取 ${x^2}$，$1$ 个取 $\left( { - \dfrac{1}{{2x}}} \right)$，其余 $3$ 个取 $1$；
方式二 $6$ 个取 ${x^2}$，$3$ 个取 $\left( { - \dfrac{1}{{2x}}} \right)$．
两种方式的系数分别为$${\mathrm{C}}_9^5{\mathrm{C}}_4^1 \cdot {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^1} = - 252,{\mathrm{C}}_9^6{\mathrm{C}}_3^3 \cdot {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^3} = - \dfrac{{21}}{2}.$$所以 ${x^9}$ 的系数为$$ - 252 - \dfrac{{21}}{2} = - \dfrac{{525}}{2}.$$
两种方式的系数分别为$${\mathrm{C}}_9^5{\mathrm{C}}_4^1 \cdot {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^1} = - 252,{\mathrm{C}}_9^6{\mathrm{C}}_3^3 \cdot {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^3} = - \dfrac{{21}}{2}.$$所以 ${x^9}$ 的系数为$$ - 252 - \dfrac{{21}}{2} = - \dfrac{{525}}{2}.$$
题目
答案
解析
备注
