对任意的实数 $m,n$，当 $0<n<m<\dfrac 1a$ 时，恒有 $\dfrac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[n]{m}}>\dfrac{n^a}{m^a}$ 成立，则实数 $a$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
先做一些初步估计，必要时再做细致的计算．
当 $a<1$ 时，取 $m=1$，则 $0<n<1$，此时不等式为 $n>n^a$，显然不成立；
当 $a=1$ 时，有 $0<n<m<1$，题中不等式即$$m^{1-\frac 1n}>n^{1-\frac 1m}.$$因为 $1-\dfrac 1n<1-\dfrac 1m$，所以$$m^{1-\frac 1n}>m^{1-\frac 1m}>n^{1-\frac 1m}.$$综上所述，实数 $a$ 的最小值为 $1$．
当 $a<1$ 时，取 $m=1$，则 $0<n<1$，此时不等式为 $n>n^a$，显然不成立；
当 $a=1$ 时，有 $0<n<m<1$，题中不等式即$$m^{1-\frac 1n}>n^{1-\frac 1m}.$$因为 $1-\dfrac 1n<1-\dfrac 1m$，所以$$m^{1-\frac 1n}>m^{1-\frac 1m}>n^{1-\frac 1m}.$$综上所述，实数 $a$ 的最小值为 $1$．
题目
答案
解析
备注
