查看数据源：59117c41e020e7000878f658
已知函数 $f\left(x\right)=\sin {\omega x}+\cos {\omega x}\left(\omega>0\right)$，$x\in \mathbb R$，若函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left(-\omega,\omega\right)$ 内单调递增，且函数 $y=f\left(x\right)$ 的图象关于直线 $x=\omega$ 对称，则 $\omega$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2015年高考天津卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    三角函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的对称性
【答案】
$\dfrac{\sqrt{\pi}}2$
【解析】
函数 $f(x)$ 即 $f(x)=\sqrt 2\sin\left(\omega x+\dfrac{\pi}4\right)$，其对称轴由方程 $\omega x+\dfrac{\pi}4=k\pi+\dfrac{\pi}2(k\in{\mathbb Z})$ 解得，因此$$\omega^2+\dfrac{\pi}4=k\pi+\dfrac{\pi}2,k\in{\mathbb Z},$$即$$\omega^2=k\pi+\dfrac{\pi}4,k\in{\mathbb Z}.$$又函数 $f(x)$ 在区间 $(-\omega,\omega)$ 内单调递增，因此其周期不小于 $4\omega$，于是$$\dfrac{2\pi}{\omega}\geqslant 4\omega,$$即$$\omega^2\leqslant \dfrac{\pi}2.$$综上，$k=0$，从而 $\omega=\dfrac{\sqrt{\pi}}2$．
题目 答案 解析 备注
0.109845s