已知 $a>0$ 且 $a\ne 1$，则关于 $x$ 的方程 ${x^{{{\log }_a}x}} = \dfrac{{{x^3}}}{{{a^2}}}$ 的解集是 ．
【难度】
【出处】
2003年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$\{a,a^2\}$
【解析】
原方程等价于\[{\log_a}x={\log_x}\dfrac{x^3}{a^2},\]即\[{\log_a}x=3-\dfrac{2}{{\log_a}x},\]于是\[{\log_a}x=1\lor{\log_a}x=2,\]解得\[x=a\lor x=a^2.\]
题目
答案
解析
备注
