无穷数列 $\{a_n\}$ 由 $k$ 个不同的数组成，$S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和．若对任意的 $n\in\mathbb N^*$，$S_n\in \{2,3\}$，则 $k$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2016年高考上海卷（文）
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
由于 $S_n,S_{n+1}\in\{2,3\}$，于是 $a_{n+1}\in\{-1,0,1\}$，也即从第 $2$ 项起数列 $\{a_n\}$ 的不同取值不超过 $3$ 个，进而数列 $\{a_n\}$ 中的项的所有不同取值 $k\leqslant 4$．
事实上，取数列$$\{a_n\}:2,\underbrace{1,0,-1},\underbrace{1,0,-1},\underbrace{1,0,-1},\cdots,$$此时 $k=4$，因此 $k$ 的最大值为 $4$．
事实上，取数列$$\{a_n\}:2,\underbrace{1,0,-1},\underbrace{1,0,-1},\underbrace{1,0,-1},\cdots,$$此时 $k=4$，因此 $k$ 的最大值为 $4$．
题目
答案
解析
备注
