有一个整数的首位是 $7$，当 $7$ 换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2003年上海交通大学冬令营选拔测试
【标注】
【答案】
$7 \times {10^{27}} + \dfrac{{7\left( {{{10}^{27}} - 3} \right)}}{{29}}$
【解析】
设原数为 $n + 1$ 位数，则$$7 \times {10^n} + x = 3\left( {10x + 7} \right),$$所以$$x = \dfrac{{7\left( {{{10}^n} - 3} \right)}}{{29}}.$$于是问题转化为求使得 ${10^n} \equiv 3\left( {\bmod 29} \right)$ 的最小的 $n$．于是有$$10^{n+1}\equiv 30\equiv 1(\bmod 29)\Rightarrow n+1=28,$$可得 $n = 27$，原数为$$7 \times {10^{27}} + \dfrac{{7\left( {{{10}^{27}} - 3} \right)}}{{29}}.$$
题目
答案
解析
备注
