设抛物线 $\begin{cases}x=2p{{t}^{2}} ,\\ y=2pt\end{cases}$（$t$ 为参数，$p>0$）的焦点为 $F$，准线为 $l$．过抛物线上一点 $A$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$．设 $C\left(\dfrac{7}{2} p,0\right)$，$AF$ 与 $BC$ 相交于点 $E$．若 $|CF|=2|AF|$，且 $\triangle ACE$ 的面积为 $3\sqrt{2}$，则 $p$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2016年高考天津卷（理）
【标注】
【答案】
$\sqrt{6} $
【解析】
由题意可知，抛物线的普通方程为 $y^2=2px(p>0)$，$F$ 点坐标为 $\left(\dfrac{p}{2},0 \right) $，准线 $l$ 的方程为 $x=-\dfrac{p}{2} $，如图．
设 $A$ 点坐标为 $\left(x_1,y_1\right) $，不妨设 $y_1>0$．
由于 $\left|CF\right|=2\left|AF\right|$，故$$2\left(x_1+\dfrac{p}{2} \right)=3p, $$解得$$ x_1=p,$$进一步可求得 $A$ 点坐标为 $\left(p,\sqrt{2}p\right) $．
因为 $\triangle{ABE}$ 与 $\triangle{FCE}$ 相似，且 $\dfrac{\left|AB\right|}{\left|FC\right|}=\dfrac{1}{2} $，所以$$S_{\triangle{ACF}}=3S_{\triangle{ACE}}=9\sqrt{2}, $$即$$\dfrac{1}{2}\cdot 3p \cdot \sqrt{2}p=9\sqrt{2},$$解得 $p=\sqrt{6} $．
设 $A$ 点坐标为 $\left(x_1,y_1\right) $，不妨设 $y_1>0$．由于 $\left|CF\right|=2\left|AF\right|$，故$$2\left(x_1+\dfrac{p}{2} \right)=3p, $$解得$$ x_1=p,$$进一步可求得 $A$ 点坐标为 $\left(p,\sqrt{2}p\right) $．
因为 $\triangle{ABE}$ 与 $\triangle{FCE}$ 相似，且 $\dfrac{\left|AB\right|}{\left|FC\right|}=\dfrac{1}{2} $，所以$$S_{\triangle{ACF}}=3S_{\triangle{ACE}}=9\sqrt{2}, $$即$$\dfrac{1}{2}\cdot 3p \cdot \sqrt{2}p=9\sqrt{2},$$解得 $p=\sqrt{6} $．
题目
答案
解析
备注
