因为\[\begin{split}f\left( x \right)& = \left( {a + \cos x} \right)\left( {a + \sin x} \right)\\& = {a^2} + a\left( {\sin x + \cos x} \right) + \sin x\cos x.\end{split}\]令$$\sin x + \cos x = t,t \in \left[ { - \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right],$$则$$\sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}.$$因此\[f\left( x \right) = {a^2} + at + \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} = \dfrac{1}{2}{t^2} + at + {a^2} - \dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{2}{\left( {t + a} \right)^2} + \dfrac{{{a^2} - 1}}{2}.\]因为 $a \geqslant 0$，所以 $t = \sqrt 2 $ 取得最大值为 ${a^2} + \sqrt 2 a + \dfrac{1}{2}$．
解方程$${a^2} + \sqrt 2 a + \dfrac{1}{2} = \dfrac{{25}}{2},$$得 $a = 2\sqrt 2 $．