$6$ 名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ．
【难度】
【出处】
2007年上海交通大学冬令营选拔测试
【标注】
【答案】
$\dfrac{{43}}{{45}}$
【解析】
不妨将 $6$ 名考生从左到右依次编号为 $1,2,3,4,5,6$．于是所有的交卷顺序总数为 ${\mathrm {A}}_6^6$．
下面研究不打扰交卷顺序的总数．
不妨设编号为 $i + 1$（$i = 0,1,2,3,4,5$）的考生最后一名交卷．于是他左边的 $i$ 名考生交卷的相对顺序必须是 $1,2,3,\cdots,i$；他右边的 $5 - i$ 名考试交卷的相对顺序必须是 $6,5,\cdots,i+2$．
所以此问题相当于 $5$ 人排队，对其中 $i$ 人，其余 $5 - i$ 人规定相对顺序的排法数．于是所有的方法数为$${\mathrm{C}}_5^i{\mathrm{C}}_{5 - i}^{5 - i} = {\mathrm{C}}_5^i.$$于是不打扰的交卷顺序一共有 $\displaystyle \sum\limits_{i = 0}^5 {{\mathrm{C}}_5^i = {2^5}} $．因此会有打扰事件发生的概率为$$1 - \dfrac{{{2^5}}}{{{\mathrm{A}}_6^6}} = \dfrac{{43}}{{45}}.$$
下面研究不打扰交卷顺序的总数．
不妨设编号为 $i + 1$（$i = 0,1,2,3,4,5$）的考生最后一名交卷．于是他左边的 $i$ 名考生交卷的相对顺序必须是 $1,2,3,\cdots,i$；他右边的 $5 - i$ 名考试交卷的相对顺序必须是 $6,5,\cdots,i+2$．
所以此问题相当于 $5$ 人排队，对其中 $i$ 人，其余 $5 - i$ 人规定相对顺序的排法数．于是所有的方法数为$${\mathrm{C}}_5^i{\mathrm{C}}_{5 - i}^{5 - i} = {\mathrm{C}}_5^i.$$于是不打扰的交卷顺序一共有 $\displaystyle \sum\limits_{i = 0}^5 {{\mathrm{C}}_5^i = {2^5}} $．因此会有打扰事件发生的概率为$$1 - \dfrac{{{2^5}}}{{{\mathrm{A}}_6^6}} = \dfrac{{43}}{{45}}.$$
题目
答案
解析
备注
