椭圆 $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$ 内接矩形的周长最大值是 ．
【难度】
【出处】
2004年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$20$
【解析】
由椭圆的垂径定理知，椭圆的内接矩形的边一定与椭圆的轴平行，于是设椭圆内接矩形在第一象限的顶点为 $\left( {x, y} \right)$，则周长为\[\begin{split}4\left( {x + y} \right)& = 4 \cdot \left( {4 \cdot \dfrac{x}{4} + 3 \cdot \dfrac{y}{3}} \right)\\& \leqslant 4\sqrt {\left( {{4^2} + {3^2}} \right)\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9}} \right)} \\& = 20.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
