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设 $x{}_1,{x_2}$ 是方程 ${x^2} - x\sin \dfrac{{3{\rm{\pi }}}}{5} + \cos \dfrac{{3{\rm{\pi }}}}{5} = 0$ 的两根，则 $\arctan {x_1} + \arctan {x_2} = $  ．
【难度】
【出处】
2004年复旦大学保送生招生测试
【标注】
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    和差角公式
  • 知识点
    >
    函数
    >
    反函数
    >
    反三角函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    根与系数的关系
【答案】
$\dfrac{{\rm{\pi }}}{5}$
【解析】
因为\[\begin{split}\tan \left( {\arctan {x_1} + \arctan {x_2}} \right)& = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{1 - {x_1}{x_2}}} = \dfrac{{\sin \dfrac{{3{\rm{\pi }}}}{5}}}{{1 - \cos \dfrac{{3{\rm{\pi }}}}{5}}} \\&= \dfrac{{\sin \dfrac{{2{\rm{\pi }}}}{5}}}{{1 + \cos \dfrac{{2{\rm{\pi }}}}{5}}}=\tan\dfrac {\pi}5,\end{split}\]而 $\arctan x\in\left(-\dfrac {\pi}2,\dfrac {\pi}2\right)$，又因为$$x_1x_2<0,x_1+x_2>0,$$所以$$\arctan {x_1} + \arctan {x_2} = \dfrac{{\rm{\pi }}}{5}.$$
题目 答案 解析 备注
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