如果直线 $x = my - 1$ 与圆 $C:{x^2} + {y^2} + mx + ny + p = 0$ 相交，且两个交点关于直线 $y = x$ 对称，那么实数 $p$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
2007年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
$\left( { - \infty , - \dfrac{3}{2}} \right)$
【解析】
两个交点关于 $y = x$ 对称，于是 $m = - 1$，所以直线为$$x + y + 1 = 0,$$圆为$${x^2} + {y^2} - x + ny + p = 0.$$注意到对称性，于是 $n = - 1$，所以$${\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{2} - p.$$直线 $x + y + 1 = 0$ 与圆相交，于是$$\dfrac{2}{{\sqrt 2 }} < \sqrt {\dfrac{1}{2} - p} ,$$解得 $p < - \dfrac{3}{2}$．
题目
答案
解析
备注
