设等差数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，${S_{m - 1}} = - 2$，${S_m} = 0$，${S_{m + 1}} = 3$，则 $m = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考新课标I卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
本题考查等差数列的性质，利用等差数列的前 $n$ 项和公式求解．法 一：
设首项 $ a_1 $，公差 $ d $，由 $ \begin{cases}S_{m-1}=-2,\\ S_m=0,\\ S_{m+1}=3,\end{cases} $ 及等差数列的前 $n$ 项和公式得\[ \begin{cases}\left(m-1\right)a_1+\dfrac{\left(m-1\right)\left(m-2\right)}{2}d=-2,\\ ma_1+\dfrac{m\left(m-1\right)}{2}d=0,\\ \left(m+1\right)a_1+\dfrac{\left(m+1\right)\cdot m}{2}d=3,\end{cases} \]解得 $m=5$，$a_1=-2$．
法二：
因为 $ a_m=S_m-S_{m-1}=2$，$ a_{m+1}=S_{m+1}-S_m=3 $，
又 $ \begin{cases}S_m=0,\\ S_{m+1}=3,\end{cases} $ 由等差数列的前 $n$ 项和公式得\[ \begin{cases}\dfrac{m\left(a_1+2\right)}{2}=0,\\ \dfrac{\left(m+1\right)\left(a_1+3\right)}{2}=3\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}m=5,\\ a_1=-2.\end{cases} \]
设首项 $ a_1 $，公差 $ d $，由 $ \begin{cases}S_{m-1}=-2,\\ S_m=0,\\ S_{m+1}=3,\end{cases} $ 及等差数列的前 $n$ 项和公式得\[ \begin{cases}\left(m-1\right)a_1+\dfrac{\left(m-1\right)\left(m-2\right)}{2}d=-2,\\ ma_1+\dfrac{m\left(m-1\right)}{2}d=0,\\ \left(m+1\right)a_1+\dfrac{\left(m+1\right)\cdot m}{2}d=3,\end{cases} \]解得 $m=5$，$a_1=-2$．
法二：
因为 $ a_m=S_m-S_{m-1}=2$，$ a_{m+1}=S_{m+1}-S_m=3 $，
又 $ \begin{cases}S_m=0,\\ S_{m+1}=3,\end{cases} $ 由等差数列的前 $n$ 项和公式得\[ \begin{cases}\dfrac{m\left(a_1+2\right)}{2}=0,\\ \dfrac{\left(m+1\right)\left(a_1+3\right)}{2}=3\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}m=5,\\ a_1=-2.\end{cases} \]
题目
答案
解析
备注
