根据均值不等式：$$\dfrac{{\sqrt {\sin x} + \sqrt {\cos x} }}{2} \leqslant {\left( {\dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{2}} \right)^{\frac{1}{4}}}=2^{-\frac 14},$$当且仅当 $\sin x = \cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ 时取得等号，所以 $\sqrt {\sin x} + \sqrt {\cos x} $ 的最大值为 ${8^{\frac{1}{4}}}$．
另一方面，因为$$0 \leqslant \sin x < 1,0 < \cos x \leqslant 1,$$所以$$\sqrt {\sin x} \geqslant {\sin ^2}x,\sqrt {\cos x} \geqslant {\cos ^2}x.$$所以$$\sqrt {\sin x} + \sqrt {\cos x} \geqslant {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1.$$当且仅当 $\sin x = 0$ 时取得等号，因此原函数的值域为 $\left[ {1,{8^{\frac{1}{4}}}} \right]$．