$n \times n$ 的正方格，任取长方形是正方形的概率是 ．
【难度】
【出处】
2004年上海交通大学保送生考试
【标注】
【答案】
$\dfrac{{2\left( {2n + 1} \right)}}{{3n\left( {n + 1} \right)}}$
【解析】
$n \times n$ 的正方形格中，共有边长为 $k$ 的正方形 ${(n-k+1)^2}$ 个，故所有的正方形个数为$$\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6},$$长方形的个数为$${\mathrm{C}}_{n + 1}^2 \cdot {\mathrm{C}}_{n + 1}^2 = \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4},$$故所求的概率为$$P = \dfrac{{2\left( {2n + 1} \right)}}{{3n\left( {n + 1} \right)}}.$$
题目
答案
解析
备注
