设 $\theta $ 是第二象限角，$\sin \theta = \dfrac{3}{5}$，则 $\sin \left( {\dfrac{{57}}{8}\pi-2\theta } \right)=$ ．
【难度】
【出处】
2004年同济大学自主招生优秀考生文化测试
【标注】
【答案】
$-\dfrac{24\sqrt{2-\sqrt 2}+13\sqrt{2-2\sqrt 2}}{50}$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}\sin\left(\dfrac{57\pi}8-2\theta\right)&=\sin\left[\dfrac{57\pi}8-2\left(\pi-\arcsin\dfrac 35\right)\right]\\
&=-\sin\left(\dfrac{\pi}8+2\arcsin\dfrac 35\right)\\
&=-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt 2}}2\cdot 2\cdot \dfrac 35\cdot \dfrac 45-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt 2}}2\cdot \left(1-2\cdot \dfrac 35\cdot\dfrac 35\right)\\
&=-\dfrac{24\sqrt{2-\sqrt 2}+13\sqrt{2-2\sqrt 2}}{50}
.\end{split}\]
&=-\sin\left(\dfrac{\pi}8+2\arcsin\dfrac 35\right)\\
&=-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt 2}}2\cdot 2\cdot \dfrac 35\cdot \dfrac 45-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt 2}}2\cdot \left(1-2\cdot \dfrac 35\cdot\dfrac 35\right)\\
&=-\dfrac{24\sqrt{2-\sqrt 2}+13\sqrt{2-2\sqrt 2}}{50}
.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
