设有正数 $a$ 与 $b$，满足 $a < b$，若实数 ${x_1}, {y_1}, {x_2}, {y_2}$，若使 ${x_1} + {y_1}$ 是 $a$ 与 $b$ 的算术平均数，${x_2} \cdot {y_2}$ 是 $a$ 与 $b$ 的几何平均数，则 $\dfrac{{\sqrt {{x_1} \cdot {y_1}} }}{{{{\left( {{x_2} + {y_2}} \right)}^2}}}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2004年同济大学自主招生优秀考生文化测试
【标注】
【答案】
$\left[0,\dfrac {a+b}{16\sqrt{ab}}\right]$
【解析】
由题意可知$${x_1} + {y_1} = \dfrac{{a + b}}{2},$$所以$$0 < \sqrt {{x_1}{y_1}} \leqslant \dfrac{{{x_1} + {y_1}}}{2} = \dfrac{{a + b}}{4},$$又因为$${x_2}{y_2} = \sqrt {ab} ,$$所以$${\left( {{x_2} + {y_2}} \right)^2} \geqslant 4{x_2}{y_2} = 4\sqrt {ab},$$于是$$0 < \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} + {y_2}} \right)}^2}}} \leqslant \dfrac{1}{{4\sqrt {ab} }},$$因此 $0 \leqslant \dfrac{{\sqrt {{x_1} \cdot {y_1}} }}{{{{\left( {{x_2} + {y_2}} \right)}^2}}}\leqslant \dfrac{a+b}{16\sqrt{ab}} $．
题目
答案
解析
备注
