已知正数 $a, b, c$ 满足 ${a^2} + ab + ac + bc = 6 + 2\sqrt 5 $，则 $3a + b + 2c$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2008年南开大学自主招生考试数学试题
【标注】
【答案】
$ 2\sqrt {10} + 2\sqrt 2 $
【解析】
由题意得$${a^2} + ab + bc + ca = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right) = 6 + 2\sqrt 5 ,$$设$$a + b = m,a + c = n,$$则$$\begin{split}3a + b + 2c &= m + 2n\\ &\geqslant 2\sqrt {2mn}\\ &= 2\sqrt 2 \cdot \sqrt {6 + 2\sqrt 5 }\\ &= 2\sqrt {10} + 2\sqrt 2 .\end{split}$$当且仅当 $m=2n$ 时，等号成立．
题目
答案
解析
备注
