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已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ $ \left(a >b >0\right)$ 的右焦点为 $F\left( {3,0} \right)$，过点 $F$ 的直线交 $E$ 于 $A,B$ 两点．若 $AB$ 的中点坐标为 $\left( {1,- 1} \right)$，则 $E$ 的方程为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{x^2}{45} + \dfrac{y^2}{36} = 1$
B: $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{27} = 1$
C: $\dfrac{x^2}{27} + \dfrac{y^2}{18} = 1$
D: $\dfrac{x^2}{18} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
【难度】
【出处】
2013年高考新课标I卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    解析几何中的计算技巧
    >
    定比点差法
【答案】
D
【解析】
本题是典型的点差法的应用问题．涉及到弦的中点的问题，可以优先考虑点差法．容易求得直线的斜率为 $ \dfrac 12 $，设 $ A\left(x_1,y_1\right) $，$ B\left(x_2,y_2\right) $，则 $ \begin{cases} \dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac {y_1^2}{b^2}=1,\\\dfrac{x_2^2}{a^2}+\dfrac{y_2^2}{b^2}=1, \end{cases} $ 两式作差，整理后可得\[ -\dfrac {b^2}{a^2}=\dfrac {y_1-y_2}{x_1-x_2}\cdot \dfrac{y_1+y_2}{x_1+x_2}. \]代入中点坐标和斜率，可得 $ a^2=2b^2 $．又 $ c=3 $，$ a^2=b^2+c^2 $，可得 $ a=3\sqrt 2 $，$ b=3 $．所以 $ E $ 的方程为 $\dfrac{x^2}{18} + \dfrac{y^2}{9} = 1$．
题目 答案 解析 备注
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